Question

6．已知曲線C上任意一點到原點的距離與到A（3，-6）的距離之比均為$\frac{1}{2}$．
（1）求曲線C的方程．
（2）設點P（1，-2），過點P作兩條相異直線分別與曲線C相交于B，C兩點，且直線PB和直線PC的傾斜角互補，求證：直線BC的斜率為定值．

Answer 1

分析 （1）利用直接法，建立方程，即可求曲線C的方程．
（2）直線與圓的方程聯(lián)立，求出A，B的坐標，利用斜率公式，即可證明直線BC的斜率為定值．

解答 （1）解：曲線C上的任意一點為Q（x，y），
由題意得$\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{{（x-3）}^2}+{{（y+6）}^2}}}}=\frac{1}{2}⇒{（x+1）^2}+{（y-2）^2}=20$-------（5分）
（2）證明：由題意知，直線PB和直線PC的斜率存在，且互為相反數(shù)，P（1，-2）
故可設PA：y+2=k（x-1），-------（6分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{y+2=k（x-1）}\\{{{（x+1）}^2}+{{（y-2）}^2}=20}\end{array}}\right.⇒（1+{k^2}）{x^2}+2（1-{k^2}-4k）x+{k^2}+8k-3=0$
因為點P的橫坐標x=1一定是該方程的解，故可得${x_A}=\frac{{{k^2}+8k-3}}{{1+{k^2}}}$，
同理，${x_B}=\frac{{{k^2}-8k-3}}{{1+{k^2}}}$，
所以${k_{AB}}=\frac{{{y_B}-{y_A}}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{-k（{x_B}-1）-k（{x_A}-1）}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{2k-k（{x_B}+{x_A}）}}{{{x_B}-{x_A}}}=-\frac{1}{2}$
故直線BC的斜率為定值$-\frac{1}{2}$．-------（12分）

點評 本題考查軌跡方程，考查直線的斜率為定值的證明，考查學生的計算能力，是中檔題．