Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+ax-2xlnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=5時(shí)，判斷g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²在[1，e]上的單調(diào)性并加以證明；
（2）當(dāng)a=4-e時(shí)，試探討函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是否存在極小值？，若存在，求出極小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=5時(shí)，g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²=5x-2xlnx，在[1，e]上的單調(diào)遞增．利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得：g′（x）=3-2lnx，即可判斷出單調(diào)性．
（2）當(dāng)a=4-e時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$x²+ax-2xlnx=$\frac{1}{2}$x²+（4-e）x-2xlnx，f′（x）=x-2lnx+2-e=h（x），h′（x）=$\frac{x-2}{x}$，可知：x=2時(shí)函數(shù)h（x）取得極小值，h（2）＜0，又x→0時(shí)，h（x）→+∞，可知：f（x）在（0，2）上存在極大值點(diǎn)．又h（e）=0，x＞e時(shí)，h（x）＞0，x=e時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值．

解答 解：（1）當(dāng)a=5時(shí)，g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²=5x-2xlnx，在[1，e]上的單調(diào)遞增．
下面給出證明：
g′（x）=5-2lnx-2=3-2lnx，
∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx∈[0，1]．
∴3-2lnx∈[1，3]＞0，
∴g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²在[1，e]上的單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)a=4-e時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$x²+ax-2xlnx=$\frac{1}{2}$x²+（4-e）x-2xlnx，
f′（x）=x+（4-e）-2lnx-2=x-2lnx+2-e=h（x），
h′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$，可知：x∈（0，2）時(shí)，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；x∈（2，+∞）時(shí)，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．
∴x=2時(shí)函數(shù)h（x）取得極小值，h（2）=4-2ln2-e＜0，
又x→0時(shí)，h（x）→+∞，可知：f（x）在（0，2）上存在極大值點(diǎn)．
又h（e）=0，x＞e時(shí)，h（x）＞0；x∈（2，e），h（x）＜0．
∴x=e時(shí)，f′（e）=0，函數(shù)f（x）取得極小值，
f（e）=$\frac{1}{2}{e}^{2}$+（4-e）e-2e=-$\frac{1}{2}{e}^{2}$+2e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．