Question

等比數(shù)列{a_n} 的首項(xiàng)a1=

1

3

，公比q＞0 且q≠1，又已知a₁，5a₃，9a₅ 成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)；
（2）若f(n)=log3

1

an

，令cn=nf(

1

2n

)，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）將a₁，5a₃，9a₅ 成等差數(shù)列表示成10a₁q²=a₁+9a₁q⁴，解得q=

1

3

，得到數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)；
（2）求出cn=nf(

1

2n

)= 

n

2n

，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答：解：（1）因?yàn)閍₁，5a₃，9a₅ 成等差數(shù)列．
所以10a₁q²=a₁+9a₁q⁴
解得q=

1

3

所以數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)為an=(

1

3

)n 
（2）所以f（n）=n，
所以cn=nf(

1

2n

)= 

n

2n

所以T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1×

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+

n

2n

①
所以

1

2

Tn=1×

1

22

+2×

1

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
①-②得Tn=2+

n-2

2n

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合的基本運(yùn)算，這是數(shù)列部分最基本的類型考查，而（2）的關(guān)鍵是要對(duì)n分類討論，求解的關(guān)鍵還是等差數(shù)列的求和公式．