Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²2x+2sin2xcos2x+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值，并求取到最大值時的x的集合．

Answer 1

解：f（x）=2cos²2x+2sin2xcos2x+1=1+cos4x+sin4x+1=sin（4x+）+2，
（1）令2kπ-≤4x+≤2kπ+，k∈z，解得 ，k∈z，
函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是[]，k∈z，
（2）由解析式知，函數(shù)的最大值為2+，此時有4x+=2kπ+，k∈z，解得x=，k∈z，
即函數(shù)f（x）的最大值為2+，取到最大值時的x的集合為{x|x=，k∈z}
分析：本題要先利用三角恒等變換公式，化簡整理后，將f（x）=2cos²2x+2sin2xcos2x+1變?yōu)閒（x）=sin（4x+）+2，
（1）由正弦函數(shù)的單調性，令相位屬于正弦函數(shù)的增區(qū)間，解出x的取值范圍，即得到函數(shù)的遞增區(qū)間；
（2）由化簡后的形式易得出最值，可令相位等于2kπ+，k∈z求出取到最大值時的x，寫成集合形式即得
點評：本題考查三角恒等變換的應用，解題的關鍵是熟練掌握三角恒等變換的公式，以及利用正弦函數(shù)的性質求函數(shù)的單調區(qū)間，函數(shù)取到最值時的x的集合．本題是三角函數(shù)中的常規(guī)題型，近幾年高考中這咱類型也比較常見，其步驟是先化簡整理，再由公式進行求解，求單調區(qū)間，求最值等，此類題掌握好解題規(guī)律即可順利解出，中檔題．