Question

設(shè)函數(shù)，已知它們在x=1處的切線互相平行．
（1）求b的值；
（2）當(dāng)x＞0時，求證：x²-2lnx≥1；
（3）若函數(shù)，且方程F（x）=a²有且僅有四個解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f^′（1）=g^′（1）即可求出b的值．
（2）由（1）可得g^′（x）=從而可得出x∈（0，1）時g^′（x）＜0，x∈（1，+∞）時g^′（x）＞0所以g（x）≥g（1）再整理即可．
（3）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性和極值然后作出函數(shù)F（x）的簡圖然后根據(jù)函數(shù)y=a²與函數(shù)F（x）的圖象有兩個交點即可求出a的范圍．
解答：解：（1）f^′（x）=a（x²-1），g^′（x）=2bx-
∵它們在x=1處的切線互相平行
∴f^′（1）=g^′（1）
∴2b-1=0
∴b=
（2）由（1）可得：g^′（x）=
當(dāng)x∈（0，1）時g^′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時g^′（x）＞0
則：
∴g（x）=≥
∴x²-2lnx≥1
（3）當(dāng)x＞0時，F(xiàn)（x）=）=，由（2）得：
當(dāng)x=1時F_極小值（x）=F（1）=
當(dāng)x≤0時F（x）=則F^′（x）=a（x-1）（x+1）
∴當(dāng)x∈（-∞，-1）時F^′（x）＞0，當(dāng)x∈（-1，0）時F^′（x）＜0
故當(dāng)x=-1時F_極大值（x）=F（-1）=
又方程F（x）=a²有且僅有四個解
則：＜a²＜
又a＞0
∴a∈（
點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性和極值，屬�？碱}，較難．解題的關(guān)鍵是透徹理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為在這點切線的斜率，同時能根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性進(jìn)而作出函數(shù)簡圖為數(shù)形結(jié)合解題作鋪墊！