Question

8．如城某觀光區(qū)的平面示意圖如圖所示，其中矩形ABCD的長AB=2千米，寬AD=1千米，半圓的圓心P為AB中點，為了便于游客觀光休閑，在觀光區(qū)鋪設(shè)一條由圓弧$\widehat{AE}$、線段EF、FC組成的觀光道路，其中線段EF經(jīng)過圓心P，且點F在線段CD上（不含線段端點C，D），已知道路AE，F(xiàn)C的造價為2a（a＞0）元每千米，道路EF造價為7a元每千米，設(shè)∠APE=θ，觀光道路的總造價為y．
（1）試求y與θ的函數(shù)關(guān)系式：y=f（θ）；
（2）當(dāng)θ為何值時，觀光道路的總造價y最�。�

Answer 1

分析 （1）由題意可知$\widehat{AE}=θ$，過點F作FO⊥AB，垂足為O，則∠FPB=θ，求出EF，F(xiàn)C，即可求y與θ的函數(shù)關(guān)系式：y=f（θ）；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出當(dāng)θ為何值時，觀光道路的總造價y最�。�

解答 解：（1）由題意可知$\widehat{AE}=θ$，過點F作FO⊥AB，垂足為O，則∠FPB=θ，
所以$EF=1+\frac{1}{sinθ}$，$FC=1-\frac{1}{tanθ}$．…（2）
$y=2a（θ+1-\frac{1}{tanθ}）+7a（1+\frac{1}{sinθ}）$…（4）
=$2aθ+9a+\frac{7-2cosθ}{sinθ}a$（$\frac{π}{4}＜θ＜\frac{3π}{4}$）…（6）
（2）$y'=2a+\frac{{2{{sin}^2}θ-7cosθ+2{{cos}^2}θ}}{{{{sin}^2}θ}}a=a\frac{{4-2{{cos}^2}θ-7cosθ}}{{{{sin}^2}θ}}$…（8）
$y'=a\frac{{4-2{{cos}^2}θ-7cosθ}}{{{{sin}^2}θ}}=0$
即2cos²θ+7cosθ-4=0，$（2cosθ-1）（cosθ+4）=0，cosθ=\frac{1}{2}$或cosθ=-4（舍）$θ=\frac{π}{3}∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$…（10）

θ	$（\frac{π}{4}，\frac{π}{3}）$	$\frac{π}{3}$	$（\frac{π}{3}，\frac{3π}{4}）$
y'	-	0	+
y		最小

…（12）
所以$θ=\frac{π}{3}$時，y最小，即當(dāng)$θ=\frac{π}{3}$時，觀光道路的總造價最小．…（14）

點評 本題考查三角函數(shù)知識，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．