Question

f（x）=ax³+bx²+cx+d，定義y=f″（x）是函數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)函數(shù)．若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)既有拐點(diǎn)，又有對(duì)稱中心，且拐點(diǎn)就是對(duì)稱中心．根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，對(duì)于函數(shù)g（x）=x³-x²+3x+，則g（）+g（）+g（）+…+g（）的值為________．

Answer 1

分析：先求g′（x）的解析式，再求g″（x），由g″（x）=0 求得拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后利用中心對(duì)稱知識(shí)，把要求的g（）+g（）+g（）+…+g（）的值轉(zhuǎn)化為對(duì)稱中心點(diǎn)的函數(shù)值．
解答：依題意，得：g′（x）=x²-x+3，∴g″（x）=2x-1．
由g″（x）=0，即2x-1=0，得：x=，
把x=代入函數(shù)g（x）的解析式得：g（）=，
∴函數(shù)g（x）=x3-x2+3x+對(duì)稱中心為（，）．
則=．
所以，g（）+g（）+g（）+…+g（）的值為2011．
故答案為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)的拐點(diǎn)的定義以及函數(shù)圖象關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的條件，解答此題的關(guān)鍵是能夠運(yùn)用對(duì)稱知識(shí)把要求解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為中心對(duì)稱點(diǎn)的函數(shù)值問(wèn)題，此題是中檔題．