Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a=1，函數(shù)g（x）=（x-m）f（x）-e^x+x²+x在x∈（2，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（x）=e^x-a
通過(guò)當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，化簡(jiǎn)g（x）=（x-m）（e^x-x）-e^x+x²+x，通過(guò)g（x）在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化g'（x）=xe^x-me^x+m+1≥0在x∈（2，+∞）恒成立，推出m≤

xex+1

ex-1

在x∈（2，+∞）恒成立，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，推出結(jié)果即可．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤∈R，f'（x）=e^x-a
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，所以f（x）在R上為增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）=0得x=lna
則：當(dāng)x∈（-∞，lna）時(shí)，f'（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在（-∞，lna）上為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（lna，+∞）上為增函數(shù)．…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=（x-m）（e^x-x）-e^x+x²+x，
∵g（x）在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，∴g'（x）=xe^x-me^x+m+1≥0在x∈（2，+∞）恒成立，
即m≤

xex+1

ex-1

在x∈（2，+∞）恒成立，
令h(x)=

xex+1

ex-1

，x∈（2，+∞），h′(x)=

(ex)2-xex-2ex

(ex-1)2

=

ex(ex-x-2)

(ex-1)2

，
令L（x）=e^x-x-2，L'（x）=e^x-1＞0在x∈（2，+∞）恒成立，
即L（x）=e^x-x-2在x∈（2，+∞）單調(diào)遞增，
即L（x）＞L（2）=e²-4＞0，∴h'（x）＞0
即h(x)=

xex+1

ex-1

在x∈（2，+∞）單調(diào)遞增，h(x)＞h(2)=

2e2+1

e2-1

所以m≤

2e2+1

e2-1

．       …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．