【題目】如圖在四棱錐中,底面為矩形,,,平面平面,為等腰直角三角形,且,為底面的中心.

(1)求異面直線與所成角的余弦值;

(2)若為中點(diǎn),在棱上,若,,且二面角的正弦值為,求實(shí)數(shù)的值.

【答案】（1）.（2）.

【解析】

（1）根據(jù)面面，，得到面，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，得到，的坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角公式，得到異面直線與所成角的余弦值；（2）設(shè)，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合（1）取平面的法向量，求出平面的法向量為，通過(guò)法向量表示出二面角的余弦值，根據(jù)其正弦值為，列出關(guān)于的方程，求出的值.

（1）∵為等腰直角三角形，

∴，

∵面面，

面面，面

∴面，

∵底面為矩形， 所以，，三條線兩兩垂直.

以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

知，，，，，

，，

，

所以異面直線與所成角的余弦值為.

（2）結(jié)合（1）知，面，

取平面的法向量.

∵，，，

∴，∴，

設(shè)平面的法向量為，

又，，

，即，

令，得，

又因?yàn)槎娼?/span>的正弦值為，

所以，

而，

即，

解得.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】自貢農(nóng)科所實(shí)地考察，研究發(fā)現(xiàn)某貧困村適合種植，兩種藥材，可以通過(guò)種植這兩種藥材脫貧.通過(guò)大量考察研究得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：藥材的畝產(chǎn)量約為300公斤，其收購(gòu)價(jià)格處于上漲趨勢(shì)，最近五年的價(jià)格如下表：

編號(hào)

1

2

3

4

5

年份

2015

2016

2017

2018

2019

單價(jià)（元/公斤）

18

20

23

25

29

藥材的收購(gòu)價(jià)格始終為20元/公斤，其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如下：

（1）若藥材的單價(jià)（單位：元/公斤）與年份編號(hào)具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)求出關(guān)于的回歸直線方程，并估計(jì)2020年藥材的單價(jià)；

（2）用上述頻率分布直方圖估計(jì)藥材的平均畝產(chǎn)量，若不考慮其他因素，試判斷2020年該村應(yīng)種植藥材還是藥材？并說(shuō)明理由.

參考公式：，（回歸方程中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，．

（1）求的方程；

（2）求過(guò)點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；

(2)若在處取得極值，判斷當(dāng)時(shí)，存在幾條切線與直線平行，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.

（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（ii）當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在單位正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，給出以下四個(gè)命題：

異面直線與間的距離為定值；

三棱錐的體積為定值；

異面直線與直線所成的角為定值；

二面角的大小為定值．

其中真命題有( )

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為.

（1）求的直角坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)；

（2）設(shè)與交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】影響消費(fèi)水平的原因很多，其中重要的一項(xiàng)是工資收入.研究這兩個(gè)變量的關(guān)系的一個(gè)方法是通過(guò)隨機(jī)抽樣的方法，在一定范圍內(nèi)收集被調(diào)查者的工資收入和他們的消費(fèi)狀況.下面的數(shù)據(jù)是某機(jī)構(gòu)收集的某一年內(nèi)上海、江蘇、浙江、安徽、福建五個(gè)地區(qū)的職工平均工資與城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平（單位：萬(wàn)元）.

地區(qū)

上海

江蘇

浙江

安徽

福建

職工平均工資

9.8

6.9

6.4

6.2

5.6

城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平

6.6

4.6

4.4

3.9

3.8

（1）利用江蘇、浙江、安徽三個(gè)地區(qū)的職工平均工資和他們的消費(fèi)水平，求出線性回歸方程，其中，；

（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)1萬(wàn)，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問(wèn)所得的線性回歸方程是否可靠？（的結(jié)果保留兩位小數(shù)）

（參考數(shù)據(jù)：，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著社會(huì)的進(jìn)步，經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，道路上的汽車(chē)越來(lái)越多，隨之而來(lái)的交通事故也增多.據(jù)有關(guān)部門(mén)調(diào)查，發(fā)生車(chē)禍的駕駛員中尤其是21 歲以下年輕人所占比例居高，因此交通管理有關(guān)部門(mén)，對(duì)2018 年參加駕照考試的21 歲以下學(xué)員隨機(jī)抽取10 名學(xué)員，對(duì)他們參加的科目三（道路駕駛）和科目四（安全文明駕駛相關(guān)知識(shí)）進(jìn)行兩輪現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試，并把兩輪測(cè)試成績(jī)的平均分作為該名學(xué)員的抽測(cè)成績(jī)．記錄的數(shù)據(jù)如下：

(1)從2018年參加駕照考試的21歲以下學(xué)員中隨機(jī)選取一名學(xué)員，試估計(jì)這名學(xué)員抽測(cè)成績(jī)大于或等于90分的概率；

(2)根據(jù)規(guī)定，科目三和科目四測(cè)試成績(jī)均達(dá)到90分以上（含90）才算測(cè)試合格.

（i）從抽測(cè)的1號(hào)至5號(hào)學(xué)員中任取兩名學(xué)員，記為學(xué)員測(cè)試合格的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望 ；

(ii) 記抽取的10名學(xué)員科目三和科目四測(cè)試成績(jī)的方差分別為，，試比較與的大小.

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