Question

16．設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₁a₃=64，a₂+a₄=72，數(shù)列{b_n}的前n向和S_n滿足S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n及數(shù)列{b_n}的通項b_n
（2）設(shè)c_n=$\frac{1}{_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推數(shù)列的通項公式可得a_n，利用數(shù)列遞推關(guān)系可得b_n．
（2）利用“裂項求和”方法可得T_n．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₁a₃=64，a₂+a₄=72，
∴$（{a}_{1}q）^{2}$=64，${a}_{1}q（1+{q}^{2}）$=72，…（1分）
∴q=2，a₁=4
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．…（3分）
當n=1時，b₁=S₁=1        （4分）
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}-（n-1）}{2}$=n．
綜上可得：b_n=n．…（6分）
（2）c_n=$\frac{1}{_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．…（8分）
∴T_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．…（12分）

點評 本題考查了數(shù)列遞推公式、等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．