Question

如下圖，在正四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB，點(diǎn)E，M分別為A₁B，C₁C的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A₁，B，M三點(diǎn)的平面A₁BMN交C₁D₁于點(diǎn)N.

（1）求證：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；

（2）求二面角B-A₁N-B₁的正切值.

Answer 1

（1）證明：如下圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

設(shè)AB=2a，

A₁A=a(a＞0)，則

A₁(2a,0,a),B(2a,2a,0),

C(0,2a,0),C₁(0,2a,a).

∵E為A₁B的中點(diǎn)，M為CC₁的中點(diǎn)，

∴E（2a,a,）,M(0,2a,).

∴=(-2a,a,0).

取平面A₁B₁C₁D₁的法向量，則

=（0,0,a）.

∵·=0，

即與平面A₁B₁C₁D₁的法向量垂直.

∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁；

（2）解析：設(shè)平面A₁BM的法向量為n₁=(x,y,z)，

又=(0,2a,-a)，=(-2a,0,)，

則

令z=1，則n₁=(,,1)，

而平面A₁B₁C₁D₁的法向量為n₂=(0,0,1)，

設(shè)二面角為θ，則|cosθ|=，

又二面角為銳二面角，

∴cosθ=.

∴tanθ=.