Question

動點P到點F（1，0）和直線x=-1的距離相等，直線l：kx-y-1=0與點P的軌跡C交于A，B兩點
（1）求 P點的軌跡C的方程；
（2）當(dāng)k變化時，求

OA

•

OB

最小值．

Answer 1

考點：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運算

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）設(shè)出P點坐標(biāo)，由題意列等式，化簡后得答案；
（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點的橫縱坐標(biāo)的積，由判別式大于0求得k的范圍，然后利用配方法求得

OA

•

OB

的范圍．

解答： 解：（1）設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x，y），依題意，得|PF|=|x+1|，
即

(x-1)2+y2

=|x+1|，
化簡得：y²=4x，
∴曲線C₁的方程為y²=4x；
（2）聯(lián)立

kx-y-1=0 y2=4x

，得k²x²-（2k+4）x+1=0．
由△=（2k+4）²-4k²=16k+16＞0，得k＞-1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

2k+4

k2

，x1x2=

1

k2

，
y₁y₂=（kx₁-1）（kx₂-1）=k²x₁x₂-k（x₁+x₂）+1
=k2•

1

k2

-k•

2k+4

k2

+1=1-

2k+4

k

+1=-

4

k

．
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

1

k2

-

4

k

=(

1

k

-2)2-4．
∵k＞-1，∴

1

k

＜-1，
∴

OA

•

OB

=(

1

k

-2)2-4＞5．
即

OA

•

OB

的范圍是（5，+∞）．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線和拋物線的關(guān)系，訓(xùn)練了平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查了利用配方法求函數(shù)的最值，是中檔題．