Question

已知f₁（x）=sinx+cosx，記f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x）（n∈N^*，n≥2），則f1(

π

2

)+f2(

π

2

)+…+f2014(

π

2

)=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由函數(shù)f₁（x），求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x）、f₅（x），…，得出f_n（x）是以4為周期的函數(shù)，從而求出解．

解答： 0解：∵函數(shù)f₁（

π

2

）=sin

π

2

+cos

π

2

=1，
∴f₂（

π

2

）=f₁′（

π

2

）=cos

π

2

-sin

π

2

=-1，
∴f₃（

π

2

）=f₂′（

π

2

）=-sin

π

2

-cos

π

2

=-1，
∴f₄（

π

2

）=f₃′（

π

2

）=-cos

π

2

+sin

π

2

=1，；
∴f₅（

π

2

）=f₄′（

π

2

）=sin

π

2

+cos

π

2

=1，
…；
∴f1(

π

2

)+f2(

π

2

)+f₃（

π

2

）=f₄（

π

2

）=1-1-1+1=0，

∴f1(

π

2

)+f2(

π

2

)+…+f2014(

π

2

)是以4為周期變化，
∵2014=503×3+2
∴f1(

π

2

)+f2(

π

2

)+…+f2014(

π

2

)=0×503+f₁（

π

2

）+f₂（

π

2

）0+1-1=0，
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及三角函數(shù)的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)考查函數(shù)f_n（x）的周期性，總結(jié)規(guī)律，求出正確的答案．