Question

設f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax
（1）若f（x）在(

2

3

，+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；
（2）當a=1時，求f（x）在[1，4]上的最值．

Answer 1

分析：（1）f（x）在(

2

3

，+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即f′（x）＞0在(

2

3

，+∞)上有解，根據(jù)f′（x）的單調(diào)性，只要f′（x）_max＞0即可；
（2）當a=1時，f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2x，利用導數(shù)求出其極值，端點處函數(shù)值，然后進行比較即可求得最值；

解答：解：（1）f′(x)=-x2+x+2a=-(x-

1

2

)2+

1

4

+2a，
當x∈[

2

3

，+∞)時，f′(x)的最大值為f′(

2

3

)=

2

9

+2a，
令

2

9

+2a＞0，得a＞-

1

9

，
所以，當a＞-

1

9

時，f(x)在(

2

3

，+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當a=1時，f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2x，
f'（x）=-x²+x+2，令f'（x）=-x²+x+2=0得x₁=-1，x₂=2
因為f（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，在（2，4）上單調(diào)遞減．
所以f（x）在[1，4]上的最大值為f(2)=

10

3

．
因為f(1)=

13

6

，f(4)=-

16

3

，
所以f（x）在[1，4]上的最小值為f(4)=-

16

3

．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，正確理解導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系及準確求導是解決問題的基礎．