Question

7．已知函數f（x）=$\frac{3x}{x+1}$，x∈[2，5]．
（1）判斷f（x）的單調性并且證明；
（2）求f（x）在區(qū)間[2，5]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）直接利用函數的單調性的定義證明即可．
（2）利用函數的單調性，直接求解函數的最值即可．

解答 解：（1）f（x）在[2，5]上是增函數．
理由：在[2，5]上任取兩個數x₁＜x₂，
則有$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{3{x_1}}}{{{x_1}+1}}-\frac{{3{x_2}}}{{{x_2}+1}}$=$\frac{{3（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$＜0，
所以f（x）在[2，5]上是增函數．
（2）由（1）可知函數是增函數，
f（x）在區(qū)間[2，5]上的最大值f（2）=2；最小值f（5）=$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查函數的單調性以及函數的最值的求法，考查計算能力．