Question

已知函數f（x）=e^x-x（e是自然數對數的底數）
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）＞ax的解集為P，若M={x|

1

2

≤x≤2}，且M∩P=?，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導數，利用導數為0，求出極值點，通過單調性說明極值點時是函數的取得最小值，即可．
（2）求出不等式的解集P，通過M∩P≠φ，說明x∈[

1

2

，2]時，a小于g（x）的最大值，利用函數的導數求出g（x） 的最大值即可．

解答：解：（1）f'（x）=e^x-1由f'（x）=0得x=0
當x＞0時，f'（x）＞0，當x＜0時，f'（x）＜0，
故f（x）在（-∞，+∞）連續(xù)，
故f_min（x）=f（0）=1．
（2）∵M∩P≠φ，
即不等式f（x）＞ax在區(qū)間[

1

2

，2]有解f（x）＞ax可化為（a+1）x＜e^x∴g(x)=

ex

x

-1，x∈[

1

2

，2]，a＜

ex

x

-1在區(qū)間[

1

2

，2]a＜gmax(x)∵g′(x)=

(x-1)ex

x2

故g(x)在區(qū)間[

1

2

，1]遞減，
在區(qū)間[1，2]遞增，g(

1

2

)=2

e

-1
又g(2)=

1

2

e2-1，且g(2)＞g(

1

2

)∴gmax(x)=g(2)=

1

2

e2-1
所以，實數a的取值范圍為(-∞，

1

2

e2-1)．

點評：本題是中檔題，考查函數的導數的應用，轉化思想的應用，考查計算能力．