15.已知經(jīng)過A(5,-3)且傾斜角的余弦值是-$\frac{3}{5}$的直線,直線與圓x2+y2=25交于B、C兩點.
(1)請寫出該直線的參數(shù)方程以及BC中點坐標;
(2)求過點A與圓相切的切線方程及切點坐標.

分析 (1)求出直線的斜率,可得直線方程,求出過圓心與直線4x+3y-11=0垂直的直線方程,兩直線方程聯(lián)立可得BC中點坐標;
(2)分類討論,利用圓心到直線的距離等于半徑,即可過點A與圓相切的切線方程及切點坐標.

解答 解:(1)直線參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=5-\frac{3}{5}t}\\{y=-3+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$(t為參數(shù)),
代入圓的方程得t2-$\frac{54}{5}$t+9=0,∴tM=$\frac{t1+t2}{2}$=$\frac{27}{5}$,
則xM=$\frac{44}{25}$,yM=$\frac{33}{25}$,中點坐標為M ($\frac{44}{25}$,$\frac{33}{25}$).
(2)設切線方程為:$\left\{\begin{array}{l}{x=5+tcosα}\\{y=-3+tsinα}\end{array}\right.$(t為參數(shù)),
代入圓的方程得t2+(10cos α-6sin α)t+9=0.
△=(10cos α-6sin α)2-36=0,
整理得cos α(8cos α-15sin α)=0,
cos α=0或tan α=$\frac{8}{15}$.
∴過A點切線方程為x=5,8x-15y-85=0.
又t=-$\frac{2a}$=3sin α-5cos α,
由cos α=0得t1=3,由8cos α-15sin α=0,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{sinα=\frac{8}{17}}\\{cosα=\frac{15}{17}}\end{array}\right.$,可得t2=-3.
將t1,t2代入切線的參數(shù)方程知,相應的切點為(5,0),($\frac{40}{17}$,-$\frac{75}{17}$).

點評 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì),涉及的知識有:點到直線的距離公式,直線的點斜式方程,垂徑定理,勾股定理,以及兩直線垂直時斜率滿足的關系,熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵.

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