Question

已知函數(shù)f（x）=x²+alnx的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線(xiàn)斜率為10．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）判斷方程f（x）=2x根的個(gè)數(shù)，證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）探究：是否存在這樣的點(diǎn)A（t，f（t）），使得曲線(xiàn)y=f（x）在該點(diǎn)附近的左、右的兩部分分別位于曲線(xiàn)在該點(diǎn)處切線(xiàn)的兩側(cè)？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=x²+alnx，所以，
函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線(xiàn)斜率k=f'（1）=2+a．
由2+a=10得：a=8． …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x²+8lnx，令F（x）=f（x）-2x=x²-2x+8lnx．
因?yàn)镕（1）=-1＜0，F(xiàn)（2）=8ln2＞0，所以F（x）=0在（0，+∞）至少有一個(gè)根．
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/48691.png' />，所以F（x）在（0，+∞）上遞增，
所以函數(shù)F（x）在（0，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程f（x）=2x有且只有一
個(gè)實(shí)根． …（7分）
（Ⅲ）證明如下：
由f（x）=x²+8lnx，，可求得曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)A處的切
線(xiàn)方程為，
即（x＞0）． …（8分）
記h（x）=x²+8lnx-=x²+8lnx-（x＞0），
則． …（11分）
（1）當(dāng)，即t=2時(shí)，對(duì)一切x∈（0．+∞）成立，
所以h（x）在（0，+∞）上遞增．
又h（t）=0，所以當(dāng)x∈（0，2）時(shí)h（x）＜0，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)h（x）＞0，
即存在點(diǎn)A（2，4+8ln2），使得曲線(xiàn)在點(diǎn)A附近的左、右兩部分分別位于曲線(xiàn)
在該點(diǎn)處切線(xiàn)的兩側(cè)． …（12分）
（2）當(dāng)，即t＞2時(shí)，時(shí)，h'（x）＞0；時(shí)，h'（x）＜0；x∈（t，+∞）時(shí)，h'（x）＞0．
故h（x）在上單調(diào)遞減，在（t，+∞）上單調(diào)遞增．
又h（t）=0，所以當(dāng)時(shí)，h（x）＞0；當(dāng)x∈（t，+∞）時(shí)，h（x）＞0，
即曲線(xiàn)在點(diǎn)A（t，f（t））附近的左、右兩部分都位于曲線(xiàn)在該點(diǎn)處切線(xiàn)的
同側(cè)． …（13分）
（3）當(dāng)，即0＜t＜2時(shí)，x∈（0，t）時(shí)，h'（x）＞0；時(shí)，h'（x）＜0；時(shí)，h'（x）＞0．
故h（x）在（0，t）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
又h（t）=0，所以當(dāng)x∈（0，t）時(shí)，h（x）＜0；當(dāng)時(shí)，h（x）＜0，
即曲線(xiàn)在點(diǎn)A（t，f（t））附近的左、右兩部分都位于曲線(xiàn)在該點(diǎn)處切線(xiàn)的同側(cè)．
綜上，存在唯一點(diǎn)A（2，4+8ln2）使得曲線(xiàn)在點(diǎn)A附近的左、右兩部分分別
位于曲線(xiàn)在該點(diǎn)處切線(xiàn)的兩側(cè)． …（14分）
解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；
（Ⅲ）證明如下：
由f（x）=x²+8lnx，，可求得曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)A處的切
線(xiàn)方程為，
即（x＞0）． …（8分）
記h（x）=x²+8lnx-=x²+8lnx-（x＞0），
則． …（11分）
若存在這樣的點(diǎn)A（t，f（t）），使得曲線(xiàn)y=f（x）在該點(diǎn)附近的左、右兩部分都
位于曲線(xiàn)在該點(diǎn)處切線(xiàn)的兩側(cè)，則問(wèn)題等價(jià)于t不是極值點(diǎn)，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)且僅當(dāng)，即t=2時(shí)，t不是極值點(diǎn)，即h'（x）≥0．
所以h（x）在（0，+∞）上遞增．
又h（t）=0，所以當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，h（x）＜0；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，h（x）＞0，
即存在唯一點(diǎn)A（2，4+8ln2），使得曲線(xiàn)在點(diǎn)A附近的左、右兩部分分別
位于曲線(xiàn)在該點(diǎn)處切線(xiàn)的兩側(cè)． …（14分）
分析：解法一：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求f（x）的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線(xiàn)斜率k，結(jié)合已知可求a
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-2x=x²-2x+8lnx，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)F（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，結(jié)合F（1）=-1＜0，F(xiàn)（2）=8ln2＞0，可證
（Ⅲ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程（x＞0），構(gòu)造函數(shù)h（x）=x²+8lnx-=x²+8lnx-（x＞0），對(duì)h（x）求導(dǎo)，通過(guò)討論t的取值范圍來(lái)判斷h′（x）的符號(hào)，進(jìn)而可判斷h（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，即可判斷
解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；
（Ⅲ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程（x＞0），構(gòu)造函數(shù)h（x）=x²+8lnx-=x²+8lnx-（x＞0），對(duì)h（x）求導(dǎo)，若存在這樣的點(diǎn)A（t，f（t）），使得曲線(xiàn)y=f（x）在該點(diǎn)附近的左、右兩部分都位于曲線(xiàn)在該點(diǎn)處切線(xiàn)的兩側(cè)，則問(wèn)題等價(jià)于t不是極值點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)可求
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．