Question

函數y=x+

4

x

（x≠0）的值域是

（-∞，-4]∪[4，+∞）

．

Answer 1

分析：由于y′=1-

4

x2

=

x2-4

x2

=

(x -2)(x+2)

x2

，利用y′＞0，可求其單調遞增區(qū)間，y′＜0，可求其單調遞減區(qū)間，從而可求其值域．

解答：解；∵由y′=1-

4

x2

=

x2-4

x2

=

(x -2)(x+2)

x2

=0得：x=2或x=-2，
∴當x＞2或x＜2時，y′＞0，即函數y=x+

4

x

（x≠0）在（-∞，-2），（2，+∞）上單調遞增；
當-2＜x＜0或0＜x＜2時，y′＜0，即函數y=x+

4

x

（x≠0）在（-2，0），（0，2）上單調遞減；
∴當x＜0時，f（x）_極大值=f（-2）=-4，
當x＞0時，f（x）_極小值=f（2）=4，
∴函數y=x+

4

x

（x≠0）的值域是（-∞，-4]∪[4，+∞）．
故答案為：（-∞，-4]∪[4，+∞）．

點評：本題考查函數的值域，通過求導討論該函數的單調性與極值是解題的關鍵，也是難點所在，當然，也可以用基本不等式解決，屬于中檔題．