Question

已知等差數列{a_n}和等比數列{b_n}，且a₁=b₁，a₂=b₂，a₁≠a₂，a_n＞0，n∈N^*．
（1）試比較a₃與b₃，a₄與b₄的大��；
（2）試猜想a_n與b_n（n≥3，n∈N^*）的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列、等比數列的通項公式求出a₃與b₃，a₄與b₄的利用作差或作商進行大小比較．
（2）由（1）根據a₃與b₃，a₄與b₄的大小，猜測大小關系，再利用數學歸納法進行證明即可．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q，a₁=b₁=a＞0，
∵a₂=b₂＞0，∴a+d=aq＞0，可得d=a（q-1）．a₁≠a₂，a_n＞0，∴d＞0，q＞1．
a₃-b₃=（a+2d）-aq²=2aq-a-aq²=-a（1-q）²＜0，∴a₃＜b₃，
a₄-b₄=（a+3d）-aq³=3aq-2a-aq³=-a（q-1）²（q+2）＜0，∴a₄＜b₄，
（2）猜想a_n＜b_n（n≥3，n∈N^*）
下面用數學歸納法證明．
①當n=3時，由（1）知，不等式成立．
②假設當n=k（n≥3，n∈N^*）時不等式成立，即a_k＜b_k
即a+（k-1）a（q-1）＜aq ^k-1，
則當n=k+1時，a_k+1=a_k+a（q-1）＜aq ^k-1+a（q-1）=a（q ^k-1+q-1），
a_k+1-b_k+1＜a（q ^k-1+q-1）-aq ^k=a（q ^k-1-1）（1-q）＜0．
所以a_k+1＜b_k+1＜a，即當n=k+1時，不等式也成立
由①②可知猜想正確，即當n≥3，n∈N^*時，a_n＜b_n

點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若（1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立