Question

【題目】對(duì)于數(shù)列，稱（其中）為數(shù)列的前k項(xiàng)“波動(dòng)均值”.若對(duì)任意的，都有，則稱數(shù)列為“趨穩(wěn)數(shù)列”．

（1）若數(shù)列1，，2為“趨穩(wěn)數(shù)列”，求的取值范圍；

（2）若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比，求證：是“趨穩(wěn)數(shù)列”；

（3）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，各項(xiàng)均為整數(shù)，前項(xiàng)的和為. 且對(duì)任意，都有， 試計(jì)算： （）．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析，(3)

【解析】

（1）由新定義可得，解不等式可得的范圍；（2）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，結(jié)合新定義，運(yùn)用不等式的性質(zhì)即可得證；（3）由任意，，都有，可得，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得，結(jié)合新定義和二項(xiàng)式定理，化簡(jiǎn)整理即可得到所求值．

（1）由題意，即，

解得 ，

（2）由已知，設(shè)，因且，故對(duì)任意的，都有，

∴ ，

因∴

∴,,,,,

∴，

∴

∴

∴

即對(duì)任意的，都有，故是“趨穩(wěn)數(shù)列”，

(3) 當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

∴

同理，，

因

∴

即 ，

所以 或

所以 或

因?yàn)?/span>，且，所以， 從而，

所以

.