Question

在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C₁為到定點的距離與到定直線的距離相等的動點P的軌跡，曲線C₂是由曲線C₁繞坐標原點O按順時針方向旋轉30°形成的．
（1）求曲線C₁與坐標軸的交點坐標，以及曲線C₂的方程；
（2）過定點M（m，0）（m＞2）的直線l₂交曲線C₂于A、B兩點，已知曲線C₂上存在不同的兩點C、D關于直線l₂對稱．問：弦長|CD|是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用兩點間的距離公式和拋物線的定義可知曲線C₁為拋物線，由拋物線C₁的對稱軸、焦點、準線可知：C₂是以（1，0）為焦點，以x=-1為準線的拋物線，得出即可；
（2）由于曲線C₂上存在不同的兩點C、D關于直線l₂對稱，設出直線l₂的斜率可得直線CD的方程，與拋物線方程聯(lián)立，聯(lián)立根與系數(shù)的關系即可得出弦長|CD|，通過換元利用二次函數(shù)的單調性即可得出．
解答：解：（1）設P（x，y），由題意，可知曲線C₁為拋物線，并且有，
化簡，得拋物線C₁的方程為：．
令x=0，得y=0或，
令y=0，得x=0或，
∴曲線C₁與坐標軸的交點坐標為（0，0）和，．
由題意可知，曲線C₁為拋物線，過焦點與準線垂直的直線為，化為．
可知此對稱軸過原點，傾斜角為30°．
又焦點到的距離為．
∴C₂是以（1，0）為焦點，以x=-1為準線的拋物線，其方程為：y²=4x．
（2）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由題意知直線l₂的斜率k存在且不為零，設直線l₂的方程為y=k（x-m），則直線CD的方程為，
則得y²+4ky-4kb=0，
∴△=16k（k+b）＞0①
∴y₁+y₂=-4k，y₁•y₂=-4kb，
設弦CD的中點為G（x₃，y₃），則y₃=-2k，x₃=k（b+2k）．
∵G（x₃，y₃）在直線l₂上，-2k=k（bk+2k²-m），即②
將②代入①，得0＜k²＜m-2，
==
設t=k²，則0＜t＜m-2．
構造函數(shù)，0＜t＜m-2．
由已知m＞2，當，即2＜m≤3時，f（t）無最大值，所以弦長|CD|不存在最大值．
當m＞3時，f（t）有最大值2（m-1），即弦長|CD|有最大值2（m-1）．
點評：熟練掌握拋物線的定義及其性質、直線與拋物線相交問題轉化為一元二次方程的根與系數(shù)的關系、弦長公式、換元法、二次函數(shù)的單調性、分類討論的思想方法是解題的關鍵．