Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且s_n=2a_n-1．
（1）證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
（2）若b_n=log₂a_n+1，求通項(xiàng)b_n；
（3）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知s_n=2a_n-1，令n=1可求a₁，利用n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1可得a_n=2a_n-1，即可得證數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
（2）由（1）可得：a_n=2^n-1，將其代入b_n=log₂a_n+1中，即可得答案，
（3）先求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)，由于該數(shù)列的通項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的積構(gòu)成的新數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和．

解答：解（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1≠0．
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2a_n-1，∴S_n-1=2a_n-1-1，
∴S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
故數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
且其首項(xiàng)a₁=1，公比為2，則a_n=2^n-1，
（2）由（1）可得：a_n=2^n-1，
則b_n=log₂a_n+1=log₂2ⁿ=n，即b_n=n；
（3）c_n=a_n•b_n=n•2^n-1，
S_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1
∴2S_n=1×2+2×2²+3×2³…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
兩式相減得-S_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ=

1(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ，
則S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列，以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和；在證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列時(shí)，要驗(yàn)證a₁≠0．