Question

15．已知圓P：（x-1）²+y²=8，圓心為C的動(dòng)圓過點(diǎn)M（-1，0）且與圓P相切．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；
（2）若直線y=kx+m與圓心為C的軌跡相交于A，B兩點(diǎn)，且k_OA•k_OB=-$\frac{1}{2}$，試判斷△AOB的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

Answer 1

分析 （1）利用橢圓定義可知，點(diǎn)C的軌跡E是以P（1，0），M（-1，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$的橢圓，由此能求出動(dòng)圓圓心C的軌跡方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立可化為關(guān)于x的一元二次方程得到根與系數(shù)的關(guān)系、再利用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)動(dòng)圓半徑為r，則|CP|=2$\sqrt{2}$-r，|CM|=r，
又P（1，0），M（-1，0），
∴|CP|+|CM|=2$\sqrt{2}$＞|PM|=2，
由橢圓定義可知，點(diǎn)C的軌跡E是以P（1，0），M（-1，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$的橢圓，
∴動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為（1+2k²）x²+4mkx+2（m²-1）=0，
△=16m²k²-8（1+2k²）（m²-3）＞0，化為6k²-m²+3＞0，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4mk}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2（{m}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+mk（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∵k_OA•k_OB=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，∴${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{1}{2}{x}_{1}{x}_{2}$，
∴$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=-\frac{1}{2}•\frac{2（{m}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$，化為2m²=2k²+1，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{4mk}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{2（{m}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}}$
=2$\sqrt{2}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{6{k}^{2}-{m}^{2}+3}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}|m|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
圓心O（0，0）到直線y=kx+m的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}|AB|•d$=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{2}|m|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}×\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}{m}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2{m}^{2}}{\sqrt{2}（1+2{k}^{2}）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴△AOB的面積為定值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可化為關(guān)于x的一元二次方程得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、三角形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．