Question

已知直線l的參數(shù)方程為，若以直角坐標(biāo)系xoy的原點(diǎn)O點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，選取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)．
（I）求直線l的傾斜角及l(fā)與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積；
（II）求|AB|．

Answer 1

解：（I）∵直線l的參數(shù)方程為，用代入法消去參數(shù)t化為普通方程為 y=x+．
設(shè)傾斜角等于α，則 0≤α＜π，tanα=，∴α=．
求得直線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-，0），B（0，），∴l(xiāng)與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積S_△OAB=×OA×OB=××=．
（II）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為=sinθ+cosθ，∴ρ²=ρsinθ+ρcosθ，
即 x²+y²=x+y．
把代入可得t²+=（+ t），解得 t₁=0，t₂=．
∴A（0，），B（，+），故|AB|=．
分析：（I）根據(jù)直線l的參數(shù)方程用代入法消去參數(shù)t化為普通方程為 y=x+，根據(jù)直線的斜率求出傾斜角 α 的值．求得直線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得 l與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積．
（II）把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，把直線l的參數(shù)方程代入，求出參數(shù)t的值，可得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得|AB|的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．