Question

已知直線l的參數(shù)方程為，若以直角坐標系xoy的原點O點為極點，以x軸正半軸為極軸，選取相同的長度單位建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為，若直線l與曲線C交于A、B兩點．
（I）求直線l的傾斜角及l(fā)與坐標軸所圍成的三角形的面積；
（II）求|AB|．

Answer 1

解：（I）∵直線l的參數(shù)方程為，用代入法消去參數(shù)t化為普通方程為 y=x+．
設傾斜角等于α，則 0≤α＜π，tanα=，∴α=．
求得直線l與坐標軸的交點的坐標分別為A（-，0），B（0，），∴l(xiāng)與坐標軸所圍成的三角形的面積S_△OAB=×OA×OB=××=．
（II）∵曲線C的極坐標方程為=sinθ+cosθ，∴ρ²=ρsinθ+ρcosθ，
即 x²+y²=x+y．
把代入可得t²+=（+ t），解得 t₁=0，t₂=．
∴A（0，），B（，+），故|AB|=．
分析：（I）根據(jù)直線l的參數(shù)方程用代入法消去參數(shù)t化為普通方程為 y=x+，根據(jù)直線的斜率求出傾斜角 α 的值．求得直線l與坐標軸的交點的坐標，即可求得 l與坐標軸所圍成的三角形的面積．
（II）把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，把直線l的參數(shù)方程代入，求出參數(shù)t的值，可得A、B兩點的坐標，利用兩點間的距離公式求得|AB|的值．
點評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，直線和圓的位置關系的應用，屬于基礎題．