Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{{e^{|x|}}}}-{x^2}$，若$f（{3^{a-1}}）＞f（-\frac{1}{9}）$，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）．

Answer 1

分析 先由解析式求出函數(shù)的定義域，化簡f（-x）后由偶函數(shù)的定義判斷，由函數(shù)的單調(diào)性、偶函數(shù)的性質(zhì)等價轉(zhuǎn)化不等式，可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{{e^{|x|}}}}-{x^2}$的定義域是R，
∵$f（-x）=\frac{1}{{e}^{|-x|}}-{（-x）}^{2}$=$\frac{1}{{e}^{|x|}}-{x}^{2}$=f（x），
∴函數(shù)f（x）在R上是偶函數(shù)，
∵偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，
∴不等式$f（{3}^{a-1}）＞f（-\frac{1}{9}）$等價于：$|{3}^{a-1}|＜|-\frac{1}{9}|$，
則3^a-1＜3^-2，即a-1＜-2，解得a＜-1，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1），
故答案為：（-∞，-1）．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的定義，函數(shù)的單調(diào)性，及偶函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡、變形能力．