Question

已知點A、B在拋物線y=2x2上，O為原點，

OA

•

OB

=0，則直線AB恒過（　�。�

• A、（2，0）
• B、（0，2）
• C、(0，

  1

  8

  )
• D、（0，

  1

  2

  ）

Answer 1

分析：設出直線AB的方程為y=kx+b，再設出點A和B的坐標，根據

OA

•

OB

=0，根據平面向量的數量積的運算法則得到一個關于橫坐標之積和縱坐標之積和的關系式，把A和B的坐標代入拋物線后，兩式相乘得到兩點縱坐標之積，將之積代入化簡得到的關系中求出兩點橫坐標之積，然后聯(lián)立直線AB與拋物線解析式，消去y后得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理求出兩橫坐標之積，兩者相等列出關于b的方程，求出方程的解即可得到b的值，由直線AB恒過（0，b），把b的值代入即可確定出點的坐標．

解答：解：設直線AB的方程為：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
根據

OA

•

OB

=0，得到x₁x₂+y₁y₂=0，
將A和B代入拋物線方程得：y₁=2x₁²，y₂=2x₂²，則y₁y₂=4（x₁x₂）²，
代入得：x₁x₂（4x₁x₂+1）=0，
由x₁x₂≠0，解得x₁x₂=-

1

4

，
聯(lián)立直線AB與拋物線方程得：

y=2x2 y=kx+b

，
消去y得：2x²-kx-b=0，
當△=k²+8b≥0時，x₁x₂=-

b

2

，
所以-

b

2

=-

1

4

，解得b=

1

2

，
則直線AB的方程為y=kx+

1

2

，恒過（0，

1

2

）．
故選D

點評：此題考查了平面向量的數量積的運算，直線與雙曲線的綜合，以及韋達定理．熟練掌握平面向量的數量積運算法則及韋達定理是解本題的關鍵．