Question

19．已知O是邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的重心，則 （$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）=-$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由已知得OA，OB，OC兩兩夾角為120°，|OA|=|OB|=|OC|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，從而$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=-$\frac{2}{3}$，由此能求出（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）的值．

解答 解：∵O是邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的重心，
∴OA，OB，OC兩兩夾角為120°，
|OA|=|OB|=|OC|=$\frac{2}{3}\sqrt{4-1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OC}$|•cos120°=$\frac{4}{3}•（-\frac{1}{2}）=-\frac{2}{3}$，
同理，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=-$\frac{2}{3}$，
（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）
=$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$
=$\frac{4}{3}-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}$=-$\frac{2}{3}$．
故答案為：$-\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積、三角形重心性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．