Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)為8，對(duì)角線B₁C=10，D為AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB₁∥平面C₁BD
（Ⅱ）求二面角C-DB-C₁的大小的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接B₁C，設(shè)B₁C與BC₁交于點(diǎn)E，連接DE，根據(jù)DE是△CAB₁的中位線，證明DE∥AB₁，從而證得AB₁∥平面C₁BD．
（Ⅱ）由條件證明∠C₁DC=θ即為二面角C-DB-C₁的平面角，求出CD和CC₁的長(zhǎng)度，在△CDC₁中，由tanθ=

CC1

CD

=

3

2

，求出cosθ=

2

13

13

，即為所求．

解答：解：（Ⅰ）連接B₁C，設(shè)B₁C與BC₁交于點(diǎn)E，連接DE，由正三棱柱性質(zhì)知E為B₁C中點(diǎn)，
又D為AC的中點(diǎn)，∴DE是△CAB₁的中位線，
∴DE∥AB₁，
又DE?平面BDC₁，AB₁?平面C₁BD，∴AB₁∥平面C₁BD．
（Ⅱ）∵D為AC的中點(diǎn)，由正三棱柱性質(zhì)知，BD⊥側(cè)面AC₁，CC₁⊥平面ABC，故∠C₁DC=θ即為二面角C-DB-C₁的平面角，
∵CD=

1

2

AB=4，CC1=

BC12-BC2

=6，
在△CDC₁中，tanθ=

CC1

CD

=

3

2

，∴cosθ=

2

13

13

，
故二面角C-DB-C₁的余弦值為

2

13

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面平行的方法，求二面角的大小的方法，找出二面角的平面角，是解題的關(guān)鍵．