Question

18．如圖：三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長均相等，AA₁⊥平面ABC，E為AA₁的中點．
（1）求證：平面BC₁E⊥平面BCC₁B₁；
（2）求直線BC₁與平面BB₁A₁A所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接CB₁交BC₁于點O，連接EC，EB₁，推導出EO⊥CB₁，EO⊥BC₁，從而EO⊥平面BCC₁B₁，由此能證明平面EBC₁⊥平面BCC₁B₁．
（2）取A₁B₁的中點為H，連接C₁H、BH，推導出C₁H⊥平面BB₁A₁A，則∠C₁BH為直線BC₁與平面BB₁A₁A所成的角，由此能求出直線BC₁與平面BB₁A₁A所成角的正弦值．

解答 證明：（1）如圖1，連接CB₁交BC₁于點O，則O為CB₁與BC₁的中點，
連接EC，EB₁，
依題意有；EB=EC₁=EC=EB₁，…（2分）
∴EO⊥CB₁，EO⊥BC₁，
∵CB₁∩BC₁=O，∴EO⊥平面BCC₁B₁，
∵OE⊆平面BC₁E，∴平面EBC₁⊥平面BCC₁B₁．…（5分）
解：（2）如圖2，取A₁B₁的中點為H，連接C₁H、BH，
∵AA₁⊥平面ABC，∴平面A₁B₁C₁⊥平面BB₁A₁A，
平面A₁B₁C₁∩平面BB₁A₁A=A₁B₁，
又∵A₁C₁=B₁C₁，H為A₁B₁的中點，
∴C₁H⊥A₁B₁，∴C₁H⊥平面BB₁A₁A，
則∠C₁BH為直線BC₁與平面BB₁A₁A所成的角．…（8分）
令棱長為2a，則C₁H=$\sqrt{3}a$，BC₁=$2\sqrt{2}a$，
∴$sin∠{C_1}BH=\frac{{\sqrt{3}a}}{{2\sqrt{2}a}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
所以直線BC₁與平面BB₁A₁A所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．