Question

【題目】已知數列和滿足：，其中為實數，為正整數.

（1）對任意實數，求證：不成等比數列；

（2）試判斷數列是否為等比數列，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當時，數列是等比數列.

【解析】

試題（1）證明否定性命題，可用反證法.如本題中可假設存在，使成等比數列，則可由來求，若求不出，說明假設錯誤，結論是不存在，，但這個式子化簡后為，不可能成立，即不存在；（2）要判定是等比數列，由題意可先求出的遞推關系，，這時還不能說明就是等比數列，還要求出，，只有當時，數列才是等比數列，因此當時，不是等比數列，當時，是等比數列.

（1）證明：假設存在一個實數，使是等比數列，則有,

即矛盾.

所以不成等比數列. 6分

（2）因為

9分

又,

所以當，，(為正整數)，此時不是等比數列： 11分

當時，，由上式可知，∴(為正整數) ，

故當時，數列是以為首項，－為公比的等比數列. 14分