Question

已知a＞0，函數(shù)f(x)=+lnx

(Ⅰ)試問f(x)在[1，+∞)上能否是單調遞減函數(shù)?請說明理由.

(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間[1，+∞)上是單調遞增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍.

(Ⅲ)當a=1時，設數(shù)列{}的前n項和為S_n，求證：S_n-1＜f(n)＜S_n-1(n∈N^*且n≥2).

Answer 1

解：(Ⅰ)∵f′(x)=  當a＞0,x∈[1,+∞)不能保證＞0或＜0恒成立,說明了y=f(x)不是—個單調函數(shù).

(Ⅱ)若f(x)在x∈[1,+∞)是單調遞增函數(shù),則f′(x)≥0恒成立,即a≥恒成立.

即a≥()_max,∵x∈[1,+∞),∴≤l,∴a≥1 

(Ⅲ)當a=1時,由(Ⅱ)知：f(x)=+lnx在[1,+∞)上為增函數(shù),

∵f(n)+lnx=lnx

又∵當x＞1時,f(x)＞f(1),∴+lnx＞0,即lnx＞l

令g(x)=x-1-lnx,則有g′(x)=1,當x∈(1,+∞),有g′(x)＞0

從而可以知道,函數(shù)g(x)在[1,+∞)上是遞增函數(shù),所以有g(x)>g(1)=0,即得c-1＞1nx.

綜上有：1＜lnx＜x-1,(x＞1),

∴;

令x=1,2,…,n-1,(n∈N^*且n≥2)時,

不等式也成立,于是代入,

將所得各不等式相加,得

即.

即∴S_n-1＜f(n)＜S_n-1(n∈N^*且n≥2)。