Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=f[tx-（t-1）m]-tf（x），（其中m，t為常數(shù)且0＜t＜1，m＞0）．
（Ⅰ）求g（x）的極值；
（Ⅱ）?n＞0，是否存在x₀＞0，使得|$\frac{{f（{x_0}+1）}}{x_0}-1}$|＜n成立，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（x）的表達式，求出g（x）的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為求$\underset{lim}{x{→0}^{+}}$$\frac{ln（x+1）}{x}$的極限值是1，求出其極限值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=lnx，f[tx-（t-1）m]=ln[tx-（t-1）m]，
∴g（x）=ln[tx-（t-1）m]-tlnx，（x＞0），
∴g′（x）=$\frac{t}{tx-（t-1）m}$-$\frac{t}{m}$=$\frac{-t（t-1）（x-m）}{x[tx-（t-1）m]}$，
∵0＜t＜1，m＞0，∴-t（t-1）＞0，tx-（t-1）m＞0，
令g′（x）＞0，解得：x＞m，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜m，
∴g（x）在（0，m）遞減，在（m，+∞）遞增，
∴g（x）_極小值=g（m）=（1-t）lnm；
（Ⅱ）若?n＞0，存在x₀＞0，使得|$\frac{{f（{x_0}+1）}}{x_0}-1}$|＜n成立，
即求x→0⁺時，$\underset{lim}{x{→0}^{+}}$$\frac{ln（x+1）}{x}$的極限值是1，
而$\underset{lim}{x{→0}^{+}}$$\frac{ln（x+1）}{x}$=$\underset{lim}{x{→0}^{+}}$$\frac{\frac{1}{x+1}}{1}$=$\underset{lim}{x{→0}^{+}}$$\frac{1}{x+1}$=1，
故?n＞0，存在x₀＞0，使得|$\frac{{f（{x_0}+1）}}{x_0}-1}$|＜n成立．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應用以及求函數(shù)的極限值，是一道中檔題．