Question

13．設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，其準線與x軸的交點為Q，過Q點的直線1交拋物線于A，B兩點．
（1）若以AB為直徑的圓恰好過點F，求直線1的斜率；
（2）設直線AF，BF與拋物線C的另一個交點分別為D，E，求證：|AB|=|DE|．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點和準線方程，由點斜式寫出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關系求出A，B兩點的橫坐標的和與積，寫出向量$\overrightarrow{FA}$，$\overrightarrow{FB}$的坐標，由向量垂直的條件，展開數(shù)量積后代入根與系數(shù)關系得答案；
（2）設直線l的方程為l：x=ky-$\frac{p}{2}$，和拋物線方程聯(lián)立后化為關于y的一元二次方程，寫出根與系數(shù)關系，由兩點式求出斜率后作和化簡，代入根與系數(shù)關系，由對稱性即可得到答案．

解答 解：（1）拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F（$\frac{p}{2}$，0），
準線方程為x=-$\frac{p}{2}$，即有Q（-$\frac{p}{2}$，0）
由題意可得l：y=k（x+$\frac{p}{2}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得k²x²+（k²-2）px+$\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}$=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-$\frac{（{k}^{2}-2）p}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
則$\overrightarrow{FA}$=（x₁-$\frac{p}{2}$，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-$\frac{P}{2}$，y₂）．
以AB為直徑的圓恰好過點F，
可得$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₁-$\frac{P}{2}$）（x₂-$\frac{P}{2}$）+y₁y₂
=（1+k²）x₁x₂-$\frac{p}{2}$（1-k²）（x₁+x₂）+$\frac{{p}^{2}}{4}$（1+k²）=0，
即有 （1+k²）•$\frac{{p}^{2}}{4}$-$\frac{p}{2}$（1-k²）（-$\frac{（{k}^{2}-2）p}{{k}^{2}}$）+$\frac{{p}^{2}}{4}$（1+k²）=0，
化為k²（1+k²）+（1-k²）（k²-2）=0，
解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）證明：設直線l：x=ky-$\frac{p}{2}$，
與拋物線聯(lián)立得y²-2pky+p²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=2pk，y₁y₂=p²．
則k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-\frac{p}{2}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-\frac{p}{2}}$
=$\frac{{y}_{1}}{k{y}_{1}-p}$+$\frac{{y}_{2}}{k{y}_{2}-p}$=$\frac{2k{y}_{1}{y}_{2}-p（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（k{y}_{1}-p）（k{y}_{2}-p）}$
=$\frac{2k{p}^{2}-p•2pk}{（k{y}_{1}-p）（k{y}_{2}-p）}$=0，
可得直線AF，BF關于x軸對稱，
再由拋物線關于x軸對稱，
可得|AB|=|DE|．

點評 本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關系，涉及直線與圓錐曲線的關系問題，常利用一元二次方程的根與系數(shù)關系，采用設而不求的方法解決，此題屬中檔題．