【答案】
分析:(1)確定函數(shù)的定義域,求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)的最小值,利用函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0,即可求得a的值;
(2)當(dāng)k≤0時(shí),取x=1,有f(1)=1-ln2>0,故k≤0不合題意;當(dāng)k>0時(shí),令g(x)=f(x)-kx
2,即g(x)=x-ln(x+1)-kx
2,求導(dǎo)函數(shù),令g′(x)=0,可得x
1=0,

,分類討論:①當(dāng)k≥

時(shí),

,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,g(x)≤g(0)=0;②當(dāng)0<k<

時(shí),

,對于

,g′(x)>0,因此g(x)在

上單調(diào)遞增,,由此可確定k的最小值;
(3)當(dāng)n=1時(shí),不等式左邊=2-ln3<2=右邊,不等式成立;當(dāng)n≥2時(shí),

,在(2)中,取k=

,得f(x)≤

x
2,從而可得

,由此可證結(jié)論.
解答:(1)解:函數(shù)的定義域?yàn)椋?a,+∞),求導(dǎo)函數(shù)可得

令f′(x)=0,可得x=1-a>-a
令f′(x)>0,x>-a可得x>1-a;令f′(x)<0,x>-a可得-a<x<1-a
∴x=1-a時(shí),函數(shù)取得極小值且為最小值
∵函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0,
∴f(1-a)=1-a-0,解得a=1
(2)解:當(dāng)k≤0時(shí),取x=1,有f(1)=1-ln2>0,故k≤0不合題意
當(dāng)k>0時(shí),令g(x)=f(x)-kx
2,即g(x)=x-ln(x+1)-kx
2,
求導(dǎo)函數(shù)可得g′(x)=

g′(x)=0,可得x
1=0,

①當(dāng)k≥

時(shí),

,g′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,因此g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,從而對任意的x∈[0,+∞),總有g(shù)(x)≤g(0)=0,即對任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx
2成立;
②當(dāng)0<k<

時(shí),

,對于

,g′(x)>0,因此g(x)在

上單調(diào)遞增,
因此取

時(shí),g(x
)≥g(0)=0,即有f(x
)≤kx
2不成立;
綜上知,k≥

時(shí)對任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx
2成立,k的最小值為

(3)證明:當(dāng)n=1時(shí),不等式左邊=2-ln3<2=右邊,所以不等式成立
當(dāng)n≥2時(shí),

在(2)中,取k=

,得f(x)≤

x
2,∴

(i≥2,i∈N
*).
∴

=f(2)+

<2-ln3+

=2-ln3+1-

<2
綜上,

(n∈N
*).
點(diǎn)評:試題分為三問,題面比較簡單,給出的函數(shù)比較常規(guī),因此入手對于同學(xué)們來說沒有難度,第二問中,解含參數(shù)的不等式時(shí),要注意題中參數(shù)的討論所有的限制條件,從而做到不重不漏;第三問中,證明不等式,應(yīng)借助于導(dǎo)數(shù)證不等式的方法進(jìn)行.