Question

某化工企業(yè)生產(chǎn)某種化工原料，在生產(chǎn)過(guò)程中對(duì)周邊環(huán)境將造成一定程度的污染，過(guò)去沒(méi)有采取任何治理污染的措施，依據(jù)生產(chǎn)和營(yíng)銷的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，該企業(yè)每季度的最大生產(chǎn)能力為2萬(wàn)噸，且每生產(chǎn)x萬(wàn)噸化工原料，獲得的純利潤(rùn)y（百萬(wàn)元）近似地滿足：y=（x+1）ln（x+1）．自2007年3月人民代表大會(huì)召開(kāi)后，該企業(yè)認(rèn)識(shí)到保護(hù)環(huán)境的重要性，決定投入資金進(jìn)行的污染治理，計(jì)劃用于治理污染的資金總費(fèi)用為y₁=2px（百萬(wàn)元）（其中x為該工廠的生產(chǎn)量，p為環(huán)保指標(biāo)參數(shù)，p∈（0，1]．
（I）試寫出該企業(yè)進(jìn)行污染治理后的利潤(rùn)函數(shù)f（x）；
（II）試問(wèn)p控制在什么范圍內(nèi)，該企業(yè)開(kāi)始進(jìn)行污染治理的第一個(gè)季度，在最大生產(chǎn)能力的范圍內(nèi)始終不會(huì)出現(xiàn)虧損？

Answer 1

（I）由題意，該企業(yè)進(jìn)行污染治理后的利潤(rùn)函數(shù)為f（x）=y-y₁=（x+1）ln（x+1）-2px．（x＞0）．…（3分）
（II）f′（x）=ln（x+1）+1-2p．
令f′（x）=0，得x=e^2p-1-1．…（4分）
①當(dāng)0＜2p≤1，即0＜p≤

1

2

時(shí)，對(duì)x∈(0，2]，f′(x)＞0．
所以f（x）在[0，2]上為增函數(shù)，且f（x）≥f（0）=0．
即當(dāng)0＜p≤

1

2

時(shí)，對(duì)所有x∈（0，2]，都有（x+1）ln（x+1）≥2px．…（8分）
②當(dāng)2p＞1，即

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2

＜p＜1時(shí)，e^2p-1-1＞0．
則當(dāng)x∈（0，e^2p-1-1）?（0，2]時(shí)，f′（x）＜0．…（11分）
所以f（x）在（0，e^2p-1）上為減函數(shù)，且f（x）＜f（0）=0
則（x+1）ln（x+1）＜2px．…（13分）
綜合可知，當(dāng)0＜p≤

1

2

時(shí)，生產(chǎn)的第一季度始終不會(huì)出現(xiàn)虧損現(xiàn)象．…（14分）