Question

6．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E為BB₁的中點，F(xiàn)為AC的中點，AA₁=2AB．
（1）求證：BF∥平面AEC₁；
（2）求證：平面AEC₁⊥平面A₁C₁CA．

Answer 1

分析 （1）連接A₁C交AC₁于O，連接OE，OF，通過證明四邊形BEOF是平行四邊形得出BF∥OE，故而BF∥平面AEC₁；
（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出BF⊥平面ACC₁A₁，故而OE⊥平面ACC₁A₁，于是結(jié)論得證．

解答 證明：（1）連接A₁C交AC₁于O，連接OE，OF．
∵四邊形ACC₁A₁是矩形，
∴O是AC₁的中點，又F是AC的中點，
∴OF∥CC₁且OF=$\frac{1}{2}$CC₁，
∵E為BB₁的中點，四邊形BCC₁B₁是矩形，
∴BE∥CC₁，BE=$\frac{1}{2}$CC₁，
∴OF∥BE，OF=BE．
∴四邊形BEOF是平行四邊形，
∴BF∥OE，又BF?平面AEC₁，OE?平面AEC₁，
∴BF∥平面AEC₁．
（2）∵△ABC是等邊三角形，F(xiàn)是AC的中點，
∴BF⊥AC，
∵平面ACC₁A₁⊥平面ABC，平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，BF⊥AC，BF?平面ABC，
∴BF⊥平面ACC₁A₁，
又OE∥BF，
∴OE⊥平面ACC₁A₁，又OE?平面AEC₁，
∴平面AEC₁⊥平面A₁C₁CA．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定定理，屬于中檔題．