Question

已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a＞0，以a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列前n項(xiàng)和記為S_n，對(duì)于任意的n∈N₊，均有S_n∈A，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解含參數(shù)的不等式，把不等式x²+a≤（a+1）x化成標(biāo)準(zhǔn)形式，因式分解求得相應(yīng)方程的根，比較根的大小，從而確定不等式的解集；（Ⅱ）求a為公比的等比數(shù)列前n項(xiàng)和記為S_n，對(duì)公比a是否為1討論，求出S_n，根據(jù)對(duì)于任意的n∈N₊，均有S_n∈A，解不等式，求得a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}={x|（x-1）（x-a）≤0，a∈R}．
（1）a≥1時(shí)，A={x|1≤x≤a}；
（2）a＜1時(shí)，A={x|a≤x≤1}
（Ⅱ）（i）當(dāng)a≥1時(shí)，A={x|1≤x≤a}．
而S₂=a+a²＞a，S₂∉A，故a≥1時(shí)，不存在滿足條件的a；

（ii）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，A={a≤x≤1}，Sn=

a(1-an)

1-a

，Sn-a=

a(1-an)

1-a

-a=

a2-an+1

1-a

≥0，∴S_n≥a，
又aⁿ＞0，∴Sn＜

a

1-a

對(duì)任意的n∈N₊，S_n∈A，只須a滿足

0＜a＜1 a 1-a ≤1

，解得0＜a≤

1

2

．
綜上所述，a的取值范圍是0＜a≤

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：解含參數(shù)的不等式，根的大小是確定分類標(biāo)準(zhǔn)的一種方法，等比數(shù)列求和，一定對(duì)公比q是否為零進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．