Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，過(guò)F₂的直線L與橢圓C相交 A，B于兩點(diǎn)，且直線L的傾斜角為60°，點(diǎn)F₁到直線L的距離為2

3

，
（1）求橢圓C的焦距．
（2）如果

AF 2

=2

F2B

，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）過(guò)F₁作F₁⊥l可直接根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系得到

3

c=2

3

，求得c的值，進(jìn)而可得到焦距的值．
（2）假設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式得到直線l的方程，然后聯(lián)立直線與橢圓方程消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，求出兩根，再由

AF 2

=2

F2B

，可得y₁與y₂的關(guān)系，再結(jié)合所求得到y(tǒng)₁與y₂的值可得到a，b的值，進(jìn)而可求得橢圓方程．

解答：解：（1）設(shè)焦距為2c，由已知可得F₁到直線l的距離

3

c=2

3

，故c=2．
所以橢圓C的焦距為4．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知y₁＜0，y₂＞0，直線l的方程為y=

3

（x-2）．
聯(lián)立

y=  3 (x-2) x2 a2 + y2 b2 =1

得（3a²+b²）y²+4

3

b²y-3b⁴=0．
解得y₁=

- 3 b2(2+2a)

3a2+b2

，y₂=

- 3 b2(2-2a)

3a2+b2

．
因?yàn)?

AF 2

=2

F2B

，所以-y₁=2y₂．
即

3 b2(2+2a)

3a2+b2

=2•

- 3 b2(2-2a)

3a2+b2

．
得a=3．而a²-b²=4，所以b=

5

．
故橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)．考查考生對(duì)橢圓基本性質(zhì)的理解和認(rèn)知，橢圓的基本性質(zhì)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，每年必考，一定要熟練掌握并能靈活運(yùn)用．