Question

求以坐標(biāo)軸為對稱軸，一焦點為且截直線y=3x-2所得弦的中點的橫坐標(biāo)為的橢圓方程．

Answer 1

解：∵橢圓一個焦點為，
∴橢圓是焦點在y軸的橢圓，設(shè)方程為（a＞b＞0）
將橢圓方程與直線y=3x-2消去y，得（a²+9b²）x²-12b²x+4b²-a²b²=0
設(shè)直線y=3x-2與橢圓交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁+x₂==1…①
又∵a²-b²=（）²=50…②
∴①②聯(lián)解，得a²=75，b²=25
因此，所求橢圓的方程為：
分析：由題意，設(shè)橢圓方程為，與直線y=3x-2消去y得關(guān)于x的一元二次方程．利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點坐標(biāo)公式，得x₁+x₂==1，再由橢圓的c=，得a²-b²=50，兩式聯(lián)解得a²=75，b²=25，從而得到所求橢圓的方程．
點評：本題給出焦點在y軸上的一個橢圓，在已知橢圓被直線截得弦的中點橫坐標(biāo)的情況下，求橢圓的方程，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)和直線與橢圓位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．