Question

如圖，已知點(diǎn)A(－2，0)，點(diǎn)P是⊙B：(x－2)²＋y²＝36上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)交BP于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的軌跡記為曲線(xiàn)C．

(Ⅰ)求曲線(xiàn)C的方程；

(Ⅱ)已知⊙O：x²＋y²＝r²(r＞0)的切線(xiàn)l總與曲線(xiàn)C有兩個(gè)交點(diǎn)M、N，并且其中一條切線(xiàn)滿(mǎn)足，求證：對(duì)于任意一條切線(xiàn)l總有．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由題意，， 　　∴Q點(diǎn)軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，且， 　　∴曲線(xiàn)C的軌跡方程是　　分 　　(Ⅱ)先考慮切線(xiàn)的斜率存在的情形．設(shè)切線(xiàn)：，則 　　由與⊙O相切得即　�、佟　�7分 　　由，消去得，， 　　設(shè)，，則由韋達(dá)定理得 　　，　　9分 　　 　　 　　　�、凇　�10分 　　由于其中一條切線(xiàn)滿(mǎn)足，對(duì)此 結(jié)合①式可得　　12分 　　于是，對(duì)于任意一條切線(xiàn)，總有，進(jìn)而 　　故總有　　14分 　　最后考慮兩種特殊情況：(1)當(dāng)滿(mǎn)足的那條切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，切線(xiàn)方程為 　　代入橢圓方程可得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，因，故，得到，同上可得：任意一條切線(xiàn)均滿(mǎn)足；(2)當(dāng)滿(mǎn)足的那條切線(xiàn)斜率存在時(shí)，，，對(duì)于斜率不存在的切線(xiàn)也有． 　　綜上所述，命題成立　　15分