Question

1．曲線y²=2px（p＞0）與圓（x-2）²+y²=3在x軸上方交于A、B兩點，線段AB的中點在y=x上，則p=（　�。�

• A． $\frac{7+\sqrt{17}}{4}$
• B． $\frac{7-\sqrt{17}}{4}$
• C． $\frac{7+\sqrt{17}}{4}$或$\frac{7-\sqrt{17}}{4}$
• D． $\frac{7-2\sqrt{17}}{4}$

Answer 1

分析 先把兩個方程聯(lián)立求出關于點A、B和p的方程，運用韋達定理，再求出中點坐標，由A，B坐標滿足拋物線的方程以及（y₁+y₂）²=y₁²+y₂²+2y₁y₂，得到p的方程，解得p的值．

解答 解：設點A，B的坐標分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），圓的圓心為點C（2，0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=3}\end{array}\right.$⇒x²-（4-2p）x+1=0，
△=（4-2p）²-4＞0⇒p＞3或0＜p＜1，
有x₁+x₂=4-2p＞0⇒0＜p＜1，x₁x₂=1，
且線段AB的中點M的坐標為（2-p，2-p）．
y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
可得y₁²y₂²=4p²x₁x₂=4p²，∴y₁y₂=2p，
∴（y₁+y₂）²=y₁²+y₂²+2y₁y₂=2p（4-2p）+4p=（4-2p）²，
∴p=$\frac{7-\sqrt{17}}{4}$（$\frac{7+\sqrt{17}}{4}$＞1舍去）．
故選：B．

點評 本題是對拋物線與圓的綜合考查，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．