Question

13．已知函數(shù)f（x）=mlnx+2nx²+x（x＞0，m∈R，n∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為2x+y-1=0，求f（x）的遞增區(qū)間；
（2）若m=1，是否存在n∈R，使f（x）的極值大于零？若存在，求出n的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于m，n的方程組，求出m，n的值，從而求出f（x）的表達式，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論n的范圍，得到n≥0時，不合題意，n＜0時，問題轉(zhuǎn)化為求使f（x₂）＞0的實數(shù)m的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx+$\frac{x-1}{2}$，求出g（x）的單調(diào)性，從而求出n的范圍即可．

解答 解：（1）由題意得：f′（x）=$\frac{m}{x}$+4nx+1，f′（1）=1+m+4n，
由f（1）=-1，得：k=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=1+m+4n=-2}\\{f（1）=2n+1=-1}\end{array}\right.$，解得：m=1，n=-1，
∴f（x）=lnx-2x²+x，
∴f′（x）=$\frac{-{4x}^{2}+x+1}{x}$（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1+\sqrt{17}}{8}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{17}}{8}$）遞增；
（2）由題意得：f（x）=lnx+2nx²+x，f′（x）=$\frac{4{nx}^{2}+x+1}{x}$（x＞0），
①n≥0時，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，故無極值，
②n＜0時，令f′（x）=0，得：4nx²+x+1=0，則△=1-16n＞0，x₁x₂=$\frac{1}{4n}$＜0，
不妨設(shè)x₁＜0，x₂＞0，則f′（x）=$\frac{4n（x{-x}_{1}）（x{-x}_{2}）}{x}$，即求使f（x₂）＞0的實數(shù)m的取值范圍，
由$\left\{\begin{array}{l}{4{{nx}_{2}}^{2}{+x}_{2}+1=0}\\{l{nx}_{2}+2{{nx}_{2}}^{2}{+x}_{2}＞0}\end{array}\right.$，得：lnx₂+$\frac{{x}_{2}-1}{2}$＞0，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx+$\frac{x-1}{2}$，則g′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$＞0，
∴g（x） 在（0，+∞）遞增，
由g（1）=0，由g（x）＞0，解得：x＞1，
即x₂=$\frac{-1-\sqrt{1-16n}}{8n}$＞1，解得：-$\frac{1}{2}$＜n＜0，
由①②得：n∈（-$\frac{1}{2}$，0）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，是一道綜合題．