Question

雙曲線(xiàn)與橢圓

x2

4

+y²=1有相同的焦點(diǎn)F₁、F₂，P在雙曲線(xiàn)的右支上，且PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=30°，則雙曲線(xiàn)的方程是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì),橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓方程可得雙曲線(xiàn)的c=

3

，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1．又PF₂⊥F₁F₂，則令x=c，求得y=

b2

a

，即PF₂=

b2

a

，再由∠PF₁F₂=30°，則PF₂=tan30°F₁F₂，即可得到a，b的方程，再由a²+b²=3，即可解得a，b，進(jìn)而得到雙曲線(xiàn)方程．

解答： 解：橢圓

x2

4

+y²=1的焦點(diǎn)F₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0），
則雙曲線(xiàn)的c=

3

，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1．
又PF₂⊥F₁F₂，則令x=c，求得y=

b2

a

，即PF₂=

b2

a

，
再由∠PF₁F₂=30°，則PF₂=tan30°F₁F₂，
即有

b2

a

=

3

3

•2c=2，且a²+b²=3，
即可解得，a=1，b=

2

．
則雙曲線(xiàn)方程為：x²-

y2

2

=1．
故答案為：x²-

y2

2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓、雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，特別是雙曲線(xiàn)方程的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．