分析 求導(dǎo)函數(shù),問題轉(zhuǎn)化為b<x+$\frac{1}{2x}$,設(shè)g(x)=x+$\frac{1}{2x}$,只需b<g(x)max,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的最大值,故可求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
解答 解:∵f(x)=$\frac{lnx+(x-b)^{2}}{x}$,x>0,
∴f′(x)=$\frac{1+2x(x-b)-lnx{-(x-b)}^{2}}{{x}^{2}}$,
∴f(x)+xf′(x)=$\frac{1+2x(x-b)}{x}$,
∵存在x∈[$\frac{1}{2}$,2],使得f(x)+xf′(x)>0,
∴1+2x(x-b)>0
∴b<x+$\frac{1}{2x}$,
設(shè)g(x)=x+$\frac{1}{2x}$,
∴b<g(x)max,
∴g′(x)=$\frac{{2x}^{2}-1}{{2x}^{2}}$,
當(dāng)g′(x)=0時(shí),解得:x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
當(dāng)g′(x)>0時(shí),即$\frac{\sqrt{2}}{2}$<x≤2時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,
當(dāng)g′(x)<0時(shí),即$\frac{1}{2}$≤x<$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)g(x)取最大值,最大值為g(2)=$\frac{9}{4}$,
∴b<$\frac{9}{4}$,
故答案為:(-∞,$\frac{9}{4}$).
點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查恒成立問題,考查函數(shù)的最值,屬于中檔題.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | f(x1)+f(x2)<0 | B. | f(x1)+f(x2)>0 | C. | f(x1)+f(x2)可能為0 | D. | f(x1)+f(x2)可正可負(fù) |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
時(shí)間x(s) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
深度y(μm) | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | (-∞,3] | B. | (-∞,-3] | C. | [-3,+∞) | D. | (-3,+∞) |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com