Question

已知關(guān)于x的不等式：|x-

m

2

|≤

1

2

（m∈Z），2是其解集中唯一的整數(shù)解．
（1）求m的值；
（2）已知正實數(shù)a，b，c滿足a²+4b²+16c²=m，求a+2b+4c的最大值．

Answer 1

考點：二維形式的柯西不等式

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由|x-

m

2

|≤

1

2

可得

m-1

2

≤x≤

m+1

2

，利用m∈Z，2是其解集中唯一的整數(shù)解，即可求m的值；
（2）由條件利用柯西不等式得：（a²+4b²+16c²）（1+1+1）≥（a+2b+4c）²，即4≥（a+2b+4c）²．再根據(jù)a、b、c為正實數(shù)，求得a+2b+4c的最大值．

解答： 解：（1）由|x-

m

2

|≤

1

2

可得

m-1

2

≤x≤

m+1

2

，
∵m∈Z，2是其解集中唯一的整數(shù)解，
∴m=4；
（2）∵a²+4b²+16c²=4，由柯西不等式得：（a²+4b²+16c²）（1+1+1）≥（a+2b+4c）²，
故有4≥（a+2b+4c）²．
再根據(jù)a、b、c為正實數(shù)，∴a+2b+4c≤2，即a+2b+4c的最大值為2．

點評：本題主要考查利用絕對值不等式的基本性質(zhì)求解和證明不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．