Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對于?x∈R，x•f′（x）≤0，若f（a-1）-f（3-a）＜0，則a的取值范圍（　�。�

A．（1，2）

B．（2，3）

C．（0，2）

D．（2，+∞）

Answer 1

分析：由x•f′（x）≤0，可得函數(shù)的單調(diào)性，由f（a-1）-f（3-a）＜0得f（a-1）＜f（3-a），然后利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性進行求解．

解答：解：∵x•f′（x）≤0，
∴當(dāng)x≥0時，f′（x）≤0，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
當(dāng)x≤0時，f′（x）≥0，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
由f（a-1）-f（3-a）＜0，得f（a-1）＜f（3-a），
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（a-1）＜f（3-a）等價為f（|a-1|）＜f（|3-a|），
∵x≥0時，函數(shù)單調(diào)遞減．
∴|a-1|＞|3-a|，
即（a-1）²＞（3-a）²，
∴a²-2a+1＞9-6a+a²，
即4a＞8，解得a＞2，
故選D．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．