Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)于任意的x，y∈R，總有f（x）+f（y）=f（x+y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，f（-1）=2
（1）求f（0）的值并判斷函數(shù)單調(diào)性
（2）求函數(shù)f（x）在[-3，1]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法即可求f（0）的值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷函數(shù)單調(diào)性
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： （1）令x=y=0得f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0，
設(shè)x₁＞x₂，f（x）+f（y）=f（x+y），令x=x₂，x+y=x₁，
則 y=x₁-x₂＞0，所以 f（x₂）+f（x₁-x₂）=f（x₁）
所以 f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＜0，
所以，f（x）在R上是減函數(shù)，
（2）f（x）+f（y）=f（x+y）
f（-3）=f（-2）+f（-1）=f（-1）+f（-1）+f（-1）=6，
f（1）+f（-1）=f（0）=0，f（1）=-2，
又因?yàn)閒（x）在[-3，3]上是減函數(shù)，
所以，最大值為f（-3）=6，最小值為f（-1）=-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)定義法和賦值法是解決抽象函數(shù)問題的基本方法．