Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項之和S_n，求S_n，并證明：＞2n-3．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由（n≥2，且n∈N^*），得數(shù)列{}是等差數(shù)列，公差d=1，首項，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由（n-）•2ⁿ，利用錯位相減法能夠得到，由此能夠證明＞2n-3．
解答：解：（Ⅰ）∵（n≥2，且n∈N^*），
∴，即（n≥2，且n∈N^*），…（3分）
所以，數(shù)列{}是等差數(shù)列，公差d=1，首項，…（5分）
于是===n-，
∴．…（7分）
（Ⅱ）∵（n-）•2ⁿ，①
∴2S_n=+…+，②…（9分）
①-②，得-
=2+2²+2³+…+
=
=（3-2n）•2ⁿ-3，…（12分）
∴＞（2n-3）•2ⁿ，
∴＞2n-3．…（14分）
點評：本題主要考查等差數(shù)列通項、求和公式、數(shù)列前n項和與通項的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力及抽象概括能力．