Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1(x≤0) f(x-1)+1(x＞0)

，則函數(shù)g（x）=f（x）-x在區(qū)間[-5，5]上的零點之和為（　　）

• A、15
• B、16
• C、30
• D、32

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對函數(shù)f（x）分“x≤0”“0＜x≤1”“1＜x≤2”“2＜x≤3”“3＜x≤4”“4＜x≤5”進行討論，分別寫出f（x）的表達式，并作出f（x）的圖象，通過函數(shù)f（x）與直線y=x的交點情況，探求方程f（x）=x的實根，即得函數(shù)g（x）=f（x）-x的所有零點，從而求得所有零點之和．

解答： 解：根據(jù)函數(shù)f（x）=

2x-1(x≤0) f(x-1)+1(x＞0)

，
（1）當(dāng)x≤0時，f（x）=2^x-1，在函數(shù)g（x）=f（x）-x=2^x-1-x中，
由g（0）=0知，g（x）有零點x₀=0；
（2）當(dāng)0＜x≤1時，-1＜x-1≤0，f（x）=f（x-1）+1=2^x-1-1+1=2^x-1，
由g（1）=f（1）-1=2^1-1-1=0，得g（x）有零點x₁=1；
（3）當(dāng)1＜x≤2時，-1＜x-2≤0，f（x）=f（x-1）+1=[f（x-2）+1]+1=2^x-2+1，
由g（2）=f（2）-2=[2^2-2+1]-2=0，得g（x）有零點x₂=2；
（4）當(dāng)2＜x≤3時，-1＜x-3≤0，同理得f（x）=2^x-3+2，
由g（3）=f（3）-3=[2^3-3+2]-3=0，得g（x）有零點x₃=3；
（5）當(dāng)3＜x≤4時，-1＜x-4≤0，得f（x）=2^x-4+3，
由g（4）=f（4）-4=[2^4-4+3]-4=0，得g（x）有零點x₄=4；
（6）當(dāng)4＜x≤5時，-1＜x-5≤0，得f（x）=2^x-5+4，
由g（5）=f（5）-5=[2^5-5+4]-5=0，得g（x）有零點x₅=5．
作出函數(shù)f（x）及y=x在[-5，5]的圖象，兩圖象共6個公共點，如右圖所示．
所以g（x）=f（x）-x在區(qū)間[-5，5]上的零點之和為0+1+2+3+4+5=15．
故答案為：A．

點評：本題考查了分段函數(shù)的圖象，函數(shù)零點的判斷與求解，關(guān)鍵是將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程的實根問題，并結(jié)合圖象進行處理．